Singh Simon - 1997 - L'ultimo teorema di Fermat by Singh Simon

autore:Singh Simon
La lingua: ita
Format: mobi, epub
editore: Bur
pubblicato: 2012-09-04T22:00:00+00:00

Possono esserci altre soluzioni ma, con un’infinità di numeri interi da esplorare, dare un elenco completo di soluzioni per questa equazione particolare è un compito impossibile. Un compito più semplice è cercare una soluzione in un ambito numerico finito, nella cosiddetta aritmetica dell’orologio.

In precedenza abbiamo visto che i numeri possono essere pensati come punti lungo la retta numerica che si estende all’infinito, come mostra la figura 4.3. Per rendere finito lo spazio dei numeri, l’aritmetica dell’orologio richiede di troncare la retta e di piegarla su se stessa fino a formare un anello numerico al posto della retta numerica.

La figura 4.4 mostra un orologio-5, nel quale la retta numerica è stata troncata al numero 5 e richiusa su se stessa allo 0. Il numero 5 svanisce e diventa equivalente a 0. Perciò i soli numeri nell’aritmetica dell’orologio-5 sono 0, 1, 2, 3, 4.

L’aritmetica convenzionale può essere pensata come una serie di spostamenti Figura 4.3: avanti e indietro lungo la retta numerica.

Nell’aritmetica normale possiamo pensare all’addizione come a uno spostamento lungo la retta di un certo numero di spazi. Per esempio 4 + 2 = 6 è lo stesso che dire: comincia al 4, spostati lungo la retta numerica di 2 spazi e arriva al 6. Invece nell’aritmetica dell’orologio-5:

4 +2 = 1

Se infatti cominciamo dal 4 e ci spostiamo intorno di 2 spazi, arriviamo all’1.

L’aritmetica dell’orologio potrebbe apparirci poco familiare, ma in realtà la usiamo ogni giorno quando parliamo del tempo. Quattro ore dopo le undici (vale a dire 11 + 4) vengono comunemente definite non le ore 15, ma le 3. Si tratta dell’aritmetica dell’orologio-12.

Siccome l’aritmetica dell’orologio tratta solo uno spazio numerico limitato, è relativamente facile scoprire tutte le possibili soluzioni a un’equazione ellittica per un’aritmetica dell’orologio di una certa dimensione. Per esempio, adoperando l’aritmetica dell’orologio-5 è possibile elencare tutte le soluzioni possibili all’equazione ellittica

x3 – x2 = y2 + y

Nell’aritmetica dell’orologio-5 la retta numerica è troncata al 5 e richiusa su se stessa.

Figura 4.4: Il numero 5 coincide con lo 0 e perciò viene rimpiazzato da quest’ultimo.

Le soluzioni sono:

x = 0,

y = 0,

x = 0,

y = 4,

x = 1,

y = 0,

x = 1,

y = 4.

Anche se alcune di queste soluzioni non sarebbero valide nell’aritmetica normale, esse sono accettabili nell’aritmetica dell’orologio-5. Per esempio, la quarta soluzione ( x = 1, y = 4) funziona così:

x3 - x2 = y2 + y

13 - 12 = 42 + 4

1 - 1 = 16 + 4

0 = 20

Ma ricordate che nell’aritmetica dell’orologio-5, 20 equivale a 0 perché 5 divide il 20 con un resto di 0.

Siccome non era possibile elencare tutte le soluzioni di un’equazione ellittica oprando su uno spazio infinito, i matematici, compreso Wiles, decisero di scoprire il numero di soluzioni in tutte le differenti aritmetiche dell’orologio. Per l’equazione ellittica sopra citata il numero di soluzioni nell’aritmetica dell’orologio-5 è quattro e perciò i matematici dicono E5 = 4. Si può anche calcolare il numero di soluzioni in altre aritmetiche dell’orologio. Per esempio, nell’aritmetica dell’orologio-7 il numero di soluzioni è nove e perciò E7 = 9.

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